Волновые функции гармонического осциллятора представляют собой нормированные полиномы Эрмита: Здесь Hv - полином Эрмита, порядка v, е"'1г - весовая функция, Nv -нормировка . Несколько первых полиномов: На pyic. 1 отображены схематически первые две волновых функ­ции гармонического осциллятора. В наиболее общем виде волновые функции гармонического осциллятора имеют вид: 1 Здесь координатный нуль отнесен к равновесному межъядерно­му расстоянию R, выражение для координаты нормировано на /, вели­чину, связанную с колебательным квантом, /2 = й/ ца.

Вычислим согласно определению функцию Вигнера для первых трех состояний v = 0, 1, 2:

Существа дела это не меняет. Число к = р/п. Выражение для функции Вигнера заметно усложняется при уве­личении номера состояния V. Это связано с вычислением преобразо­вание Фурье от полиномиального выражения. Подчас, единственным способом получить функцию Вигнера, является (численное) быстрое преобразование Фурье. Из таблицы видно, что функция Вигнера для гармонического осциллятора сохраняет вид гауссовых экспонент. Это дает возможность провести вычисления в аналитическом виде, и про­вести обобщение для любого v.